banner

เรื่อง: ความรุ้ทางคณิตศาสตร์ เรื่อง ทฤษฎีเซต/เซต

เรื่อง ทฤษฎีเซต/เซต

2.1 เซต

เซต เป็นคำที่ใช้บ่งบอกถึงกลุ่มของสิ่งต่างๆ และเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดแน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม สิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม เช่น

เซตสระในภาษาอังกฤษ หมายถึง กลุ่มของอังกฤษ a, e, i, o และ u

เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 10 หมายถึง กลุ่มตัวเลข 1,2,3,4,5,6,7,8,และ9

สิ่งที่ในเชตเรียกว่า สมาชิก ( element หรือ members )

การเขียนเซต

การเขียนเซตอาจเขียนได้ 2 แบบ

1 การเขียนซตแบบแจกแจงสมาชิก เขียนสมาชิกทุกตัวลงในเครื่องหมายวงเล็บปีก กา { } และใช้เครื่องหมายจุลภาค ( , ) คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว เช่น

เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 7 เขียนแทนด้วย {1,2,3,4,5,6,}

เซตของพยัญชนะไทย 5 ตัวแรก เขียนแทนด้วย { ก,ข,ฃ,ค,ฅ }

2.เขียนแบบบอกเงื่อนไข ใช้ตัวแปรเขียนแทนสมาชิกของเซต แล้วบรรยายสมบัติของสมาชิกที่อยู่รูปของตัวแปร เช่น

{x| x เป็นสระในภาษาอังกฤษ } อ่านว่า เซตของ x โดยที่ x เป็นสระในภาษาอังกฤษ

{x| x เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี } อ่านว่า เซตของ xโดยที่ x เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี เครื่องหมาย “ | ” แทนคำว่า โดยที่

ในการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกนั้นจะใช้จุด ( ... ) เพื่อแสดงว่ามีสมาชิกอื่นๆ ซึ่งเป็นที่เข้าใจกันทั่วไปว่ามีอะไรบ้างที่อยู่ในเซต เช่น

{ 1,2,3,...,10 } สัญลักษณ์ ... แสดงว่ามี 4,5,6,7,8 และ9 เป็นสมาชิกของเซต

{ วันจันทร์, อังคาร, พุธ,..., อาทิตย์ } สัญลักษณ์ ... แสดงว่ามีวันพฤหัสบดี วันศุกร์ และวันเสาร์ เป็นสมาชิกของเซต









สัญลักษณ์แทนเซต

ในการเขียนเซตโดยที่ทั่วไปจะแทนเซตด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A,B,C และแทนสมาชิกของเซตด้วยตัวพิมพ์เล็ก เช่น a,b,c เช่น

A = {1,4,9,16,25,36} หมายถึง A เป็นเซตของกำลังสองของจำนวนนับหกจำนวนแรก }

สมาชิกของเซต

จะใช้สัญลักษณ์ “ € ” แทนคำว่าเป็นสมาชิกหรืออยู่ใน เช่น

A = {1,2,3,4}

จะได้ว่า 1 เป็นสมาชิกของ A หรืออยู่ใน A เขียนแทนด้วย 1 €A

3 เป็นสมาชิกของ A หรืออยู่ใน A เขียนแทนด้วย 3€ A

คำว่า “ม่เป็นสมาชิก” หรือ “ไม่อยู่ใน” เขียนด้วยสํญลักษณ์ “ € ” เช่น

5 ไม่เป็นสมาชิกของ A หรือไม่อยู่ใน A เขียนแทน 5€A

7 ไม่เป็นสมชิกชอง A หรือไม่อยู่ใน A เขียนแทนด้วย 7€A

สำหรับเซต A ซึ่งมีสมาชิก 4 ตัว เราจะใช้ n(A) เพื่อบอกจำนวนสมาชิกของเซต A นั่นคือ n(A) = 4

ตัอย่างที่ 1 จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก

1.เซตของจังหวัดในประเทศไทยที่ลงท้ายด้วยบุรี

2.ซตของจำนวนเมลบ

3.เซตของพยัญชนะในภาษาไทย

วิธีทำ 1.ให้ A เป็นเซตของจังหวัดในประเทศไทยที่ลงท้ายด้วยบุรี

A = { สุพรรณบุรี, ปราจีนบุรี, สิงห์บุรี,..., ลพบุรี }

2. ให้ B เป็นเซตของจำนวนต็มลบ

B = {-1,-2,-3,…}

3. ให้C เป็นเซตของพยัญชนะในภาษาไทย

C = {ก,ข,ค,…,ฮ}







ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบบอกเงื่อนไข

1. A = {2,4,6,8,10}

2. B = {1,3,5,7}

วิธีทำ 1.A = {x| x เป็นจำนวนคู่บวกที่น้อยกว่า 12 }

2.B = {x| x เป็นจำนวนคี่บวกที่น้อยกว่า 9 }

เซตว่าง

คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก สัญลักษณ์ที่ใช้ในเซตว่าง คือ {} หรือ( อ่านว่าไฟ (phi))

ตัวอย่างของเซตว่างได้แก่

A = { x| x เป็นจังหวัดในประเทศไทยที่ขึ้นต้นด้วย “ข”}

เซตจำกัด

คือ เซตซึ่งมีจำนวนสมาชิกต็มบวกหรือศูนย์

ตัวอย่างเซตจำกัด ได้แก่

A = {0,2,4,…,10} , n(A) = 11

B = {x| x เป็นพยัญชนะในคำว่า “เซตว่าง” }, n( A ) = 4

C = {1,2,…,8}

เซตอนันต์

คือ เซตที่มีจำนวนมากมาย นับไม่ถ้วน

ตัวอย่างเซตอนันต์ ได้แก่

A = {x| x เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 5 }

B = {x| x 3,7,11,15,…}

C = {1,2,3,…}

ข้อตกลงเกี่ยวกับเซต

1. เซตว่างเป็นเซตจำกัด

2. การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกเขียนสมาชิกแต่ละตัวเพียงครั้งเดียวเท่านั้น

เช่น เซตของเลขโดดที่อยู่ในจำนวน 232 คือ {2,3}

3. เซตของจำนวนที่มักจะกล่าวถึงเสมอและใช้กันทั่วไป มีดังนี้





I เป็นเซตของจำนวนเต็ม หรือ I = {…,-2,-1,0,1,2,...}

I เป็นเซตของจำนวนต็มบวก หรือ I = {1,2,3,…}

I เป็นเซตของจำนวนต็มลบ หรือ I = {-1,-2,-3,…}

N เป็นเซตของจำนวนนับ หรือ N = {1, 2, 3,…}

P เป็นเชตของจำนวนเฉพาะ หรื P = { 2, 3 , 5 , 7,…}

เซตที่เท่ากัน

เซต A = B หมายถึง สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิก ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A เท่ากับเซต B เขียนแทนด้วย A = B

และเซตA ไม่เท่ากับเซต B หมายความว่า มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่ใช้สมาชิกของเซต B หรือมีสมาชิกอย่างน้อยของเซต B ที่ไม่ใช่สมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย AB

ตัวอย่างที่ 1 A = {0,1,2 } และ B = {2,0,1}

ดั้งนั้น เซต A เท่ากันกับเซต B เขียนแทนด้วย A = B

คัวอย่างที่ 2 กำหนด A= {1,1,2,4,5,6} , B ={2,1,2,4,5,6}, C = {1,2,4,5,5,6,7,8}

จงหาว่ามีเซตใดบ้างที่เท่ากัน

วิธีทำ A = {1,1,2,4,5,6}, B ={2,1,2,4,5,6}

จะได้ A=B เพราะมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว

แต่ AC , BC เพราะว่า7 €A และ 7 € B

2.2เอกภพสัมพัทธ์

ในการเขียนเซตบอกเงื่อนไขของสมาชิก จะต้องกำหนดเซตของ เอกภพสัมพัทธ์ เขียนแทนด้วย U โดยมีข้อตกลงว่า เมื่อกล่าวถึงสมาชิกของเซต จะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นนอกเหนือจากสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์

ตัวอย่างที่ 1 U = {x| x เป็นพยัญชนะในภาษาไทย } และ {x| x เป็นพยัญชนะในภาษาไทย 3 ตัวแรก }

จงเขียนเซต A แบบแจกแจงสมาชิก

วิธีทำ U = {ก,ข,ค,...,ฮ}





ดังนั้น A = {ก,ข,ค}

ตัวอย่างที่ 2 U = {1,2,3,…} , B {x| x เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่า 5 } จงเขียน B แบบแจกแจงสมาชิก

วิธีทำ U = {1,2,3,…}

ดังนั้น B = {1,2,3,4}

2.3 สับเซตและเพาเวอร์เซต

เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B เขียนแทนด้วย AB เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่ป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย AB เช่น

A = {3,5} และ B = {1,3,5,7,9}

จะได้ว่า A B แต่ B A

สมบัติของสับเซต

1. A A และ A

2. ถ้าAB และ BC แล้วAC

3. ACและ BC ก็ต่อเมื่อ A = B

เพาเวอร์เซต

เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตของสับซตทั้งหมดของ A เขียนแทนด้วย P(A)

เช่น A= {2,4,6}

จะไดว่า เพาเวอร์เซตของซต A คือ

P(A) = { {2},{4},{6},{2,4},{2,6},{4,6},{2,4,6},เซตว่าง}

สมบัติของเพาเวอร์เซต

1. P(A) และ P(A)

2.A P(A)

3.ถ้า A เป็นเซตจำกัด n(A)= k n(P(A))= 2

4.A B ก็ต่อเมื่อ P(A) P(B)

5.P(A) P(B) = P(A B)

6.P(A) P(B) P(A B

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

เป็นแผนภาพที่ใช้แสดงความเกี่ยวข้องกับเซต เพื่ช่วยในการคำนวณหรือแก้ไขปัญหา มีวิธีการเขียนดังนี้ ให้เอกภพสัมพัทธ์ U แทนด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เซต A,B,C… ซึ่งเป็นสับเซตของ U แทนด้วยวงกลม วงรี หรือรูปปิดอื่นๆ โดยให้เซต A,B,C… อยู่ใน U

- อินเตอร์เซกชัน (Intersection): อินเตอร์เซกชันของเซต A และเซต B จะได้เซตใหม่ ซึ่งสมาชิกเป็นสมาชิกของเซตทั้งเซต A และเซต B

“ อินเตอร์เซกชันของเซตA และเซต B เขียนแทนด้วย A B ”

A B = {x| x A และ x B}

เช่น A = {1,2,3,4,} , B = {2,4,6} และ C = {0,1}

จะได้ A B = {2,4}

A C = {1}

B C = {}

- คอมพลีเมนต์ (Complement) : คอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซต A ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่ใช่สมาชิกของเซต A

“คอมพลีเมนต์ของเซต A เขียนแทนด้วย A ”

A = {x| x € U และ x € A }

เช่น U ={0,1,2,3} , A ={0,2,4} และ B = {1,3}

จะได้ A = {1,3}

B = {0,2}

- ผลต่างระหว่างเซต (Difference of Sets ) : ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B คือสมาชิกอยู่ในเซต B

“ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A – B ”

A-B ={x| x € A และ x € B}

เช่น A = {0,1,2,3,4} และ B = {1,3,5,7,9}

จะได้ A-B = {0,2,4}

B-A = {5,7,9}



จำนวนของสมาชิกของเซตจำกัด

จำนวนของสมาชิกจำกัดของเซต A ใดๆ เขียนแทนด้วย n(A)

การหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด ทำได้โดย

- การนับแผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์

- การใช้หลักเกณฑ์ ต่อไปนี้

ถ้าเซต A เซต B และเซต C เป็นเซตจำกัด

- n(A B) = n(A) +n(B) – n(A B)

- n(A B) = n(A) +n(B)+ n(C)-n(A B)-n(A C)-n(B C)+n(A B C)








24 พ.ย. 2556 23:16:43